Aufgabe 3

Wie viele Stellen hat die Zahl 3^{1.000.000.000}?

1. Lösungsweg

Laut Taschenrechner ist 3¹⁰⁰ eine 48stellige Zahl.

Andererseits ist 3^{1.000.000.000} = (3¹⁰⁰)^10.000.000.

Daraus folgt: Es gibt 48·10.000.000 = 480.000.000 Ziffern.

Antwort: Die Zahl ist 480.000.000-stellig.

2. Lösungsweg

Es sei x = 3^{1.000.000.000}. Durch Logarithmieren erhalten wir

lg x = 1.000.000.000·lg 3 ⇔ lg x = 477.121.254,7… ⇔ x = 10^{477121254,7…}.

Dies bedeutet:

Antwort: Die Zahl ist 477.121.255-stellig.

3. Lösungsweg

Zuerst fertigen wir eine Tabelle an.

Die Anzahl der Ziffern erhöht sich also in Zweierschritten um je eins. Aus 1.000.000.000 : 2 = 500.000.000 folgt:

Antwort: Die Zahl ist 500.000.000-stellig.

Die drei Lösungswege haben zu drei unterschiedlichen Ergebnissen geführt.

Widerspruch! – Was ist richtigt? Was ist falsch? Warum?

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